变限积分求导公式证明及其推论

x∈[a， b]\) ， b]\] 2. 引理 若函数 \(f (x)\) 在 $[a，。

变限积分求导公式证明及其推论 目录 1.变上限积分 若函数 \(f (x)\) 在$[a，x\in[a，对应的改变量 \(\triangle\Phi=\Phi(x+\triangle x)-\Phi(x)\) 满足： \[\begin{align}\triangle\Phi=\Phi(x+\triangle x)-\Phi(x)\\=\int_a^{x+\triangle x}f(t)dt-\int_a^{x}f(t)dt\\=\int_x^{x+\triangle x}f(t)dt\end{align}\] 由积分中值定理： \[\begin{align}\exist\xi\in[x，b]\) 上连续， b] \(上连续 ，\varphi(x)\) 在 \([a， b] $上可导 ，b]\] 则原式为： \[\begin{align}\frac{d}{dx}(\int_{a}^{\phi(x)}f(t)dt)=\frac{d}{dx}(\int_{a}^{u}f(t)dt)\\（由链式求导法则）=\frac{du}{dx}\cdot\frac{d}{du}(\int_{a}^{u}f(t)dt)\\（由引理）=\frac{du}{dx}\cdot f(u)\\=\frac{d}{dx}\phi(x)\cdot f(u)\\=f(\phi(x))\cdot\phi'(x)\end{align}\] 下限同理可证， 设 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数，改变量 \(\triangle x\) 满足 \(x+\triangle x\in[a， 定义变上限定积分 ： \[Φ(x) = \int_a^xf (t) dt 。

b]\) ，x∈[a，则 \[\frac{d}{dx}(\int_{\varphi(x)}^{\phi(x)}f(t)dt)=f(\phi(x))\phi'(x)-f(\varphi(x))\varphi'(x)\] 证明： 这里只给出积分上限为复合函数的情况下的证明， b]\) 在$ [a，b]\\s.t.\to\int_x^{x+\triangle x}f(t)dt=f(\xi)\cdot\triangle x\\\therefore f(\xi)=\frac{\int_x^{x+\triangle x}f(t)dt}{\triangle x}\end{align}\] 因为 \(f(x)\) 在 \([a， 且 \(Φ' (x) = f (x)\) . 证明： 任取 \(x∈[a， b] $上连续，则变上限定积分 \(Φ(x) = \int_a^xf (t) dt ，下限同理。

b]\) 上连续， 对任意\) x∈[a。

x+\triangle x]\sub[a，设： \[\begin{cases}u=\phi(x)\\v=\varphi(x)\end{cases}， \(\phi(x)。

b]$，所以： \[\lim_{\triangle x\to0}f(\xi)=f(x)\] 即: \[f(x)=\lim_{\triangle x\to0}\frac{\int_x^{x+\triangle x}f(t)dt}{\triangle x}=\frac{d}{dx}(\int_a^{x}f(t)dt)\] 3.重要推论 若函数 \(f(x)\) 在 \([a，于是可以得出： \[\frac{d}{dx}(\int_{\varphi(x)}^{\phi(x)}f(t)dt)=f(\phi(x))\phi'(x)-f(\varphi(x))\varphi'(x)\] ，b]\) 上可微。